निश्चित समाकलनों के गुणों का उपयोग करके,$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^{\frac{3}{2}} x}{\sin^{\frac{3}{2}} x + \cos^{\frac{3}{2}} x} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^{\frac{3}{2}} x}{\sin^{\frac{3}{2}} x + \cos^{\frac{3}{2}} x} dx$ ..... $(1)$
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^{\frac{3}{2}}(\frac{\pi}{2}-x)}{\sin^{\frac{3}{2}}(\frac{\pi}{2}-x) + \cos^{\frac{3}{2}}(\frac{\pi}{2}-x)} dx$
चूंकि $\sin(\frac{\pi}{2}-x) = \cos x$ और $\cos(\frac{\pi}{2}-x) = \sin x$,इसलिए:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^{\frac{3}{2}} x}{\cos^{\frac{3}{2}} x + \sin^{\frac{3}{2}} x} dx$ ..... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^{\frac{3}{2}} x + \cos^{\frac{3}{2}} x}{\sin^{\frac{3}{2}} x + \cos^{\frac{3}{2}} x} dx$
$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 dx$
$2I = [x]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$
$2I = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$
$I = \frac{\pi}{4}$